Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm ngược, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác ngược:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 ≤ y ≤ π/2	y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 ≤ y ≤ π	y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
0 < y < π	y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)

Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos

Các hàm lượng giác ngược cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

arcsin ⁡ z = z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arcsin z&=&z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arccos ⁡ z = π 2 − arcsin ⁡ z = π 2 − ( z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arccos z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arctan ⁡ z = z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 2 n + 1 | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arctan z&=&z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arccsc ⁡ z = arcsin ⁡ ( z − 1 ) = z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z − 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z − ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 | z | > 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arccsc} z&=&\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&=&z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1} arcsec ⁡ z = arccos ⁡ ( z − 1 ) = π 2 − ( z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z − 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) | z | > 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arcsec} z&=&\arccos \left(z^{-1}\right)\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1} arccot ⁡ z = π 2 − arctan ⁡ z = π 2 − ( z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 2 n + 1 | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arccot} z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1}

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

arcsin ⁡ ( x ) = ∫ 0 x 1 1 − z 2 d z , | x | < 1 {\displaystyle \arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1} arccos ⁡ ( x ) = ∫ x 1 1 1 − z 2 d z , | x | < 1 {\displaystyle \arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1} arctan ⁡ ( x ) = ∫ 0 x 1 1 + z 2 d z , ∀ x ∈ R {\displaystyle \arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R} } arccot ⁡ ( x ) = ∫ x ∞ 1 z 2 + 1 d z , z > 0 {\displaystyle \operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0} arcsec ⁡ ( x ) = ∫ x 1 1 | z | z 2 − 1 d z , x > 1 {\displaystyle \operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1} arccsc ⁡ ( x ) = ∫ x ∞ − 1 | z | z 2 − 1 d z , x > 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác ngược ra cho các biến phức:

arcsin ⁡ ( z ) = − i log ⁡ ( i ( z + 1 − z 2 ) ) {\displaystyle \arcsin(z)=-i\log \left(i\left(z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)} arccos ⁡ ( z ) = − i log ⁡ ( z + z 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)} arctan ⁡ ( z ) = i 2 log ⁡ ( 1 − i z 1 + i z ) {\displaystyle \arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}